La Fusion Libre : Le Cas Simple

En variant la méthode d’amalgamation de Fräıssé, Hrushovski a réussi dans [Hr92] à fusionner deux théories fortement minimales (ayant des langages sont disjoints) en une seule. En 1988, il avait déjà emprunté la même méthode d’amalgamation pour construire une théorie fortement minimale non-localement modulaire qui n’interprète pas de groupe infini. Cette théorie est un contre-exemple extrême à la Conjecture de la trichotomie de Zilber selon laquelle la géométrie d’un ensemble fortement minimal est triviale ou linéaire si elle ne provient pas d’un corps algébriquement clos. Poizat a établi deux étapes pour la méthode de construction par amalgamation : après la construction d’une structure générique ω-stable de rang ω (appelée fusion libre dans le cas de la fusion) suit le collapse sur une théorie fortement minimale. Hrushovski, dans son article sur la fusion [Hr92], a fait remarquer qu’une fusion en une théorie fortement minimale devrait également se faire si les deux théories fortement minimales à fusionner s’intersectaient dans la théorie d’un espace vectoriel sur un corps fini. Plus généralement, le problème d’une fusion au-dessus d’un souslangage se pose, c’est à dire la fusion de deux théories fortement minimales T1 et T2 au-dessus d’une troisième T0 (qui est un réduit commun). Pour des raisons techniques, il vaut mieux supposer que T0 est ω-catégorique. Nous avons étudié la fusion libre au-dessus d’un sous-langage dans un travail en commun avec Assaf Hasson [HH06], sous l’hypothèse supplémentaire que les multiplicités soient préservées dans l’une des expansions T0 ⊆ Ti (i = 1, 2). La théorie de la fusion libre qui en résulte est ω-stable avec un unique type de rang ω, et le collapse est établi sur une théorie fortement minimale dans le cas particulier où T1 et T2 sont localement modulaires. Baudisch, Martin-Pizarro et Ziegler ont finalement pu montrer le collapse au-dessus d’un espace vectoriel sur un corps fini